Lemma von Zorn/Beispielaussage/Beweise/Aufgabe/Lösung

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Beispielsweise wird der Existenzsatz für maximale Ideale in einem kommutativen Ring mit dem Lemma von Zorn bewiesen. Der Beweis geht so:

Wir betrachten die Menge

Diese Menge enthält das Nullideal und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

Man zeigt nun, dass ein Ideal ist, das nicht die enthält. Also gehört es zu und es bildet eine obere Schranke für . Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in , und dies sind maximale Ideale.
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