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Limes superior/Stetige Abbildung/Aufgabe/Lösung

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a) Es sei ein Häufungspunkt von . Dann gibt es eine gegen konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen , sodass ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.

b) Zu einer beschränkten Menge unter einer stetigen Abbildung

ist stets

da es eine Folge in gibt, die gegen das Supremum von konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen . Wenn speziell die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung

c) Wir betrachten die Folge , die für gerade Indizes den Wert und für ungerade den Wert besitzt. Die Häufungspunkte sind also , der Limes superior davon ist . Es sei . Die Bildfolge schwankt zwischen und und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich . Das ist echt größer als

.