a) Es sei
ein Häufungspunkt von
. Dann gibt es eine gegen
konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen
, sodass
ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.
b) Zu einer beschränkten Menge
unter einer stetigen Abbildung
-
ist stets
-

da es eine Folge in
gibt, die gegen das Supremum
von
konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen
. Wenn speziell
die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung
-

c) Wir betrachten die Folge
, die für gerade Indizes den Wert
und für ungerade den Wert
besitzt. Die Häufungspunkte sind also
, der Limes superior davon ist
. Es sei
. Die Bildfolge schwankt zwischen
und
und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich
. Das ist echt größer als

.