Limes superior/Stetige Abbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann gibt es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen ${}f(x)$, sodass ${}f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.

b) Zu einer beschränkten Menge ${}H$ unter einer stetigen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ist stets

${}f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\,,$

da es eine Folge in ${}H$ gibt, die gegen das Supremum ${}s$ von ${}H$ konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen ${}f(s)\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}$. Wenn speziell ${}H$ die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}=f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\leq {\operatorname {sup} \,(G)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Wir betrachten die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die für gerade Indizes den Wert ${}1$ und für ungerade den Wert ${}-2$ besitzt. Die Häufungspunkte sind also ${}\{-2,1\}$, der Limes superior davon ist ${}1$. Es sei ${}f(x)=x^{2}$. Die Bildfolge schwankt zwischen ${}1$ und ${}4$ und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich ${}4$. Das ist echt größer als

${}f(1)=1$.

Zur gelösten Aufgabe