Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

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  1. Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .
  2. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren

  3. Man nennt die Linearformen

    die durch

    festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

  4. Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

  5. Das Polynom

    heißt charakteristisches Polynom von .

  6. Zu einer Familie , , von Punkten in und einem Zahltupel , , mit

    heißt die Summe baryzentrische Kombination der .