Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/2/Teiltest/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

2. Für die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   gilt

   ${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

3. Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

   $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

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