Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe/Lösung

1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   $\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

   über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^n$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
2. Sei  $M=\{1,\dots ,n\}$  und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei $k=\mathrm{\#}\left(F\right)$ die Anzahl der Fehlstände von $\pi$. Dann ist das Signum von $\pi$ gleich

   $\mathrm{sgn}(\pi )=(-1{)}^k.$

3. Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

   $\phi :V⟶V$

   eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. $\phi$ ist diagonalisierbar.
   2. Es gibt eine Basis $𝔳$ von $V$ derart, dass die beschreibende Matrix $M_{𝔳}^{𝔳}(\phi )$ eine Diagonalmatrix ist.
   3. Für jede beschreibende Matrix $M=M_{𝔴}^{𝔴}(\phi )$ bezüglich einer Basis $𝔴$ gibt es eine invertierbare Matrix $B$ derart, dass

      $BM{B}^{-1}$

      eine Diagonalmatrix ist.

Zur gelösten Aufgabe