Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist

   ${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ ${}(p,q)$ der Form folgende Interpretation: ${}p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu positiven Eigenwerten und ${}q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu negativen Eigenwerten.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
   5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

      mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

Zur gelösten Aufgabe