Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$.
2. Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Dann besteht die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ genau aus allen Punkten, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe