Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .

  3. Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich