Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/5/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist ${}x^{2}-1$, somit ist ${}1$ eine einfache Nullstelle des Polynoms und man muss die gesuchte Lösungsfunktion als

${}y(t)=rte^{t}\,$

mit einer Konstanten ${}r\in \mathbb {R}$ ansetzen. Ableiten ergibt

${}{\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)-y(t)&={\left(rte^{t}\right)}^{\prime \prime }-rte^{t}\\&={\left(re^{t}+rte^{t}\right)}'-rte^{t}\\&=re^{t}+re^{t}+rte^{t}-rte^{t}\\&=2re^{t}.\end{aligned}}$

Der Vergleich mit der rechten Seite zeigt

${}r={\frac {1}{2}}\,$

und somit ist

${}y(t)={\frac {1}{2}}te^{t}\,$

eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung.

Zur gelösten Aufgabe