Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/1/Aufgabe/Kommentar

Dies schließt direkt an die vorstehende Aufgabe an. Wenn man ein Anfangswertproblem hat, muss man eigentlich immer zuerst die Differentialgleichung allgemein lösen und dann in einem zweiten Schritt mit der Anfangsbedingung noch einen freien Parameter festlegen. Es kann aber auch mal sein, dass es für das Anfangsproblem eine besonders einfache Lösung, typischerweise eine konstante Lösung, gibt, obwohl es schwierig ist, die Differentialgleichung allgemein zu lösen.

Hier jedenfalls kenn wir die allgemeine Lösung

$c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right).$

Die zusätzliche Bedingung ist einfach, dass diese Funktion an der Stelle ${}6$ noch den Wert ${}-3$ haben soll. Dabei ist die ${}6$ für ${}t$ einzusetzen, und das legt dann ${}c$ fest.

${}c\exp \left({\frac {1}{3}}6^{3}-2\cdot 6^{2}+5\cdot 6\right)=-3\,,$

also ist

${}c=-{\frac {3}{\exp 30}}\,.$

Die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-{\frac {3}{\exp 30}}\cdot \exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)\,.$

Hier unbedingt das wieder mit ${}t$ (und nicht mit eingesetztem ${}6$)

schreiben, das Ergebnis muss eine Funktion sein!

Zur kommentierten Aufgabe