Lineare Gleichung/Eine Variable/Lösungsverhalten/Bemerkung

Die „Mutter aller linearen Gleichungssysteme“ ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form

${}ax=b\,$

mit gegebenen Elementen ${}a,b$ aus einem Körper ${}K$ und gesuchtem ${}x$. Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei ${}a\neq 0$ kann man die Gleichung mit dem Inversen von ${}a$ in ${}K$, also mit ${}a^{-1}$, multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung

${}x=ba^{-1}={\frac {b}{a}}\,.$

Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei ${}a=0$ hängt das Lösungsverhalten von ${}b$ ab. Bei ${}b=0$ ist jedes ${}x\in K$ eine Lösung, bei ${}b\neq 0$ gibt es keine Lösung.