Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung
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in den Variablen
und den Parametern
, die als unbestimmte Koeffizienten der linearen Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum
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in Abhängigkeit von den Parametern
verstehen. Ein Extremfall liegt bei
vor, dann ist die Gleichung für beliebige
erfüllt und der Lösungsraum ist der volle zweidimensionale
. Bei
ist der Lösungsraum eindimensional, und ein Basisvektor für diese Lösungsgerade ist durch
gegeben. Insbesondere kann man den Lösungsraum über dem Parameterraum
pauschal beschreiben, es ist
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Eine kompaktere Interpretation dieses Sachverhaltes ergibt sich, wenn man den Gesamtlösungsraum der Gleichung als
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ansetzt. Man beachte, dass
kein linearer Untervektorraum des
ist. Der Lösungsraum zu einem speziellen Parameterwert
ergibt sich daraus, wenn man
mit den affinen Ebenen
schneidet. Unter der Gesamtabbildung
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ist
die
Faser
zu
. Im Gesamtlösungsraum ist die Variation der Lösungsgeraden in Abhängigkeit vom Parameter und die Degenerierung zu einer Lösungsebene über dem Nullpunkt sichtbar. Das Verhalten außerhalb des Parameternullpunktes wird durch die eingeschränkte Abbildung
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beschrieben. Jede Faser dieser eingeschränkten Projektion ist der eindimensionale Lösungsraum. Ferner gibt es eine bijektive Abbildung
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die für jeden Parameter
linear ist. Links steht ein direktes Produkt aus dem Basisraum
und der Faser
, die unabhängig vom Basispunkt ist, und rechts steht eine Familie von variierenden Geraden im
, doch die angegebene Bijektion zeigt, dass man das eine in das andere übersetzen kann.