Lineare Gleichung/Zwei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung

${}su+tv=0\,$

in den Variablen ${}u,v$ und den Parametern ${}s,t$, die als unbestimmte Koeffizienten der linearen Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum

${}L_{(s,t)}={\left\{(u,v)\mid su+tv=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

in Abhängigkeit von den Parametern ${}(s,t)$ verstehen. Ein Extremfall liegt bei ${}(s,t)=(0,0)$ vor, dann ist die Gleichung für beliebige ${}(u,v)$ erfüllt und der Lösungsraum ist der volle zweidimensionale ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bei ${}(s,t)\neq (0,0)$ ist der Lösungsraum eindimensional, und ein Basisvektor für diese Lösungsgerade ist durch ${}{\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}}$ gegeben. Insbesondere kann man den Lösungsraum über dem Parameterraum ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ pauschal beschreiben, es ist

${}L_{(s,t)}={\left\{c{\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}}\mid c\in \mathbb {R} \right\}}\,.$

Eine kompaktere Interpretation dieses Sachverhaltes ergibt sich, wenn man den Gesamtlösungsraum der Gleichung als

${}L={\left\{(s,t,u,v)\mid su+tv=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

ansetzt. Man beachte, dass ${}L$ kein linearer Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{4}$ ist. Der Lösungsraum zu einem speziellen Parameterwert ${}(s,t)$ ergibt sich daraus, wenn man ${}L$ mit den affinen Ebenen ${}(s,t)\times \mathbb {R} ^{2}$ schneidet. Unter der Gesamtabbildung ${}p=p_{s,t}$

$L\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{s,t}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2},\,(s,t,u,v)\longmapsto ,(s,t),$

ist ${}L_{(s,t)}$ die Faser zu ${}(s,t)$. Im Gesamtlösungsraum ist die Variation der Lösungsgeraden in Abhängigkeit vom Parameter und die Degenerierung zu einer Lösungsebene über dem Nullpunkt sichtbar. Das Verhalten außerhalb des Parameternullpunktes wird durch die eingeschränkte Abbildung

$L'=L\setminus {\left(\mathbb {R} ^{2}\times (0,0)\right)}=p^{-1}{\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$

beschrieben. Jede Faser dieser eingeschränkten Projektion ist der eindimensionale Lösungsraum. Ferner gibt es eine bijektive Abbildung

${\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)}\times \mathbb {R} \longrightarrow L',\,(s,t;c)\longmapsto (s,t,ct,-cs),$

die für jeden Parameter ${}(s,t)$ linear ist. Links steht ein direktes Produkt aus dem Basisraum ${}\mathbb {R} ^{2}\times (0,0)$ und der Faser ${}\mathbb {R}$, die unabhängig vom Basispunkt ist, und rechts steht eine Familie von variierenden Geraden im ${}\mathbb {R} ^{2}$, doch die angegebene Bijektion zeigt, dass man das eine in das andere übersetzen kann.