a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -5\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -5)-6=\lambda ^{2}-6\lambda -1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01513f7fd951dfbf29e8156a0b0e3d793fdbe7d4)
Daher sind
und
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert
berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor
zum Eigenwert
und damit die erste Fundamentallösung
-
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert
berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor
zum Eigenwert
und damit die zweite Fundamentallösung
-
Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
-
![{\displaystyle {}ae^{(3+{\sqrt {10}})t}\cdot {\begin{pmatrix}2-{\sqrt {10}}\\-3\end{pmatrix}}+be^{(3-{\sqrt {10}})t}\cdot {\begin{pmatrix}2+{\sqrt {10}}\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a(2-{\sqrt {10}})e^{(3+{\sqrt {10}})t}+b(2+{\sqrt {10}})e^{(3-{\sqrt {10}})t}\\-3ae^{(3+{\sqrt {10}})t}-3be^{(3-{\sqrt {10}})t}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf264e5d2d9e45fc316b7e2a5d2b0673e0af8ba)
mit
.
b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
und
so bestimmen, dass
-
ist. Die zweite Gleichung bedeutet
. Wir addieren das
-fache der ersten Zeile zu
dazu und erhalten
-
![{\displaystyle {}b(1-{\frac {2+{\sqrt {10}}}{2-{\sqrt {10}}}})=-1+{\frac {4}{2-{\sqrt {10}}}}={\frac {2+{\sqrt {10}}}{2-{\sqrt {10}}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bbf6d78fb2235a4ab3aad1dd6814e975cd4b5e)
woraus sich
-
![{\displaystyle {}b{\frac {-2{\sqrt {10}}}{2-{\sqrt {10}}}}={\frac {2+{\sqrt {10}}}{2-{\sqrt {10}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd0b888e1b36c864a88a766b7c265940cd913d8)
und somit
-
![{\displaystyle {}b=-{\frac {2+{\sqrt {10}}}{2{\sqrt {10}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a699218177ae5af60cd90fb427df74de46f3aac)
ergibt. Daher ist
-
![{\displaystyle {}a=-1-b=-1+{\frac {2+{\sqrt {10}}}{2{\sqrt {10}}}}={\frac {2-{\sqrt {10}}}{2{\sqrt {10}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ec42d1d1ac8986289ca621ce7d9bb4f7046d5e)
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-