Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_1,\dots ,u_n$.

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

$\{c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}\cdot u_1+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}\cdot u_n\mid c_i\in 𝕂\},$

wobei ${\lambda }_i$ der Eigenwert zu $u_i$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen