Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Komplexe und reelle Lösungen/Bemerkung

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℝ)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei

$z:ℝ⟶{ℂ}^n$

eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben  $z(t)=u(t)+\mathrm{i}v(t)$,  wobei $u,v$ differenzierbare Kurven im ${ℝ}^n$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei

$\bar{z}(t)=u(t)-\mathrm{i}v(t)$

die konjugiert-komplexe Funktion zu $z$. Dann ist wegen

$M\overline{z(t)}=\bar{M}\overline{z(t)}=\overline{z^{\prime }(t)}={\bar{z}}^{\prime }(t)$

auch $\bar{z}$ eine Lösungsfunktion. Wegen

$u(t)=\frac{z(t)+\bar{z}(t)}{2}\text{ und }v(t)=\frac{z(t)-\bar{z}(t)}{2\mathrm{i}}$

sind auch Real- und Imaginärteil von $z$ Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).