Lineares Gleichungssystem/Über Q sqrt(3)/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben das Gleichungssystem als

(I) (2 + \sqrt{3}) x - \sqrt{3} y = 1 - \sqrt{3}

(I I) \frac{1}{2} x - (2 + 3 \sqrt{3}) y = 4 - 2 \sqrt{3} .

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit $4 + 2 \sqrt{3}$ und erhalten

(I I I) (2 + \sqrt{3}) x + (- 26 - 16 \sqrt{3}) y = 4.

Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten

(I V) (26 + 15 \sqrt{3}) y = - 3 - \sqrt{3} .

Das inverse Element von $(26 + 15 \sqrt{3})$ ist $(26 - 15 \sqrt{3})$ , somit ist also

y = (26 - 15 \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3}) = - 33 + 19 \sqrt{3} .

Aus der Gleichung $(I I)$ folgt daraus

\begin{matrix} x & = 2 (4 - 2 \sqrt{3} + (2 + 3 \sqrt{3}) y) \\ = 8 - 4 \sqrt{3} + 2 (2 + 3 \sqrt{3}) (- 33 + 19 \sqrt{3}) \\ = 8 - 4 \sqrt{3} + 210 - 122 \sqrt{3} \\ = 218 - 126 \sqrt{3} . \end{matrix}