Lineares Gleichungssystem/Parameter/1/Aufgabe/Lösung

Bei ${}a=0$ wird das Gleichungssystem zu

{}5x+z=0\,,

{}3z=0\,.

Also ist

{}x=z=0\,

und ${}y$ beliebig, somit ist

{}L_{0}={\left\{y{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mid y\in K\right\}}\,.

Es sei also ${}a\neq 0$ . Wir rechnen ${}II-aI$ und erhalten

{}-3ax+(3-a(1-a))z=0\,

bzw.

{}x={\frac {3-a+a^{2}}{3a}}z\,.

Die erste Gleichung liefert

{}{\begin{aligned}y&={\frac {1}{a}}{\left(-5x+(a-1)z\right)}\\&={\frac {1}{a}}{\left(-5{\frac {3-a+a^{2}}{3a}}z+(a-1)z\right)}\\&={\frac {1}{3a^{2}}}{\left(-5(3-a+a^{2})+3a(a-1)\right)}z\\&={\frac {1}{3a^{2}}}{\left(-2a^{2}+2a-15\right)}z\\&={\frac {-2a^{2}+2a-15}{3a^{2}}}z.\end{aligned}}

Somit ist

{}L_{a}={\left\{z{\begin{pmatrix}{\frac {3-a+a^{2}}{3a}}\\{\frac {-2a^{2}+2a-15}{3a^{2}}}\\1\end{pmatrix}}\mid z\in K\right\}}\,.