Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel

Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&+5y&+2z&&-v&=&3\\3x&-4y&&+u&+2v&=&1\\4x&&-2z&+2u&&=&7\,\end{matrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ (oder ${}\mathbb {Q}$) lösen. Wir eliminieren zuerst ${}x$, indem wir die erste Zeile ${}I$ beibehalten, die zweite Zeile ${}II$ durch ${}II-{\frac {3}{2}}I$ und die dritte Zeile ${}III$ durch ${}III-2I$ ersetzen. Das ergibt

${\begin{matrix}2x&+5y&+2z&&-v&=&3\\&-{\frac {23}{2}}y&-3z&+u&+{\frac {7}{2}}v&=&{\frac {-7}{2}}\\&-10y&-6z&+2u&+2v&=&1\,.\end{matrix}}$

Wir könnten jetzt aus der (neuen) dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile ${}y$ eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber ${}z$ (dies eliminiert gleichzeitig ${}u$). Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile ${}III$ durch ${}III-2II$. Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge der Variablen aufschreiben, das System

${\begin{matrix}2x&+2z&&+5y&-v&=&3\\&-3z&+u&-{\frac {23}{2}}y&+{\frac {7}{2}}v&=&{\frac {-7}{2}}\\&&&13y&-5v&=&8\,.\end{matrix}}$

Wir können uns nun ${}v$ beliebig (oder „frei“) vorgeben. Die dritte Zeile legt dann ${}y$ eindeutig fest, es muss nämlich

${}y={\frac {8}{13}}+{\frac {5}{13}}v\,$

gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder ${}u$ beliebig vorgeben, was dann ${}z$ eindeutig festlegt, nämlich

${}{\begin{aligned}z&=-{\frac {1}{3}}{\left(-{\frac {7}{2}}-u-{\frac {7}{2}}v+{\frac {23}{2}}{\left({\frac {8}{13}}+{\frac {5}{13}}v\right)}\right)}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(-{\frac {7}{2}}-u-{\frac {7}{2}}v+{\frac {92}{13}}+{\frac {115}{26}}v\right)}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left({\frac {93}{26}}-u+{\frac {12}{13}}v\right)}\\&=-{\frac {31}{26}}+{\frac {1}{3}}u-{\frac {4}{13}}v.\end{aligned}}$

Die erste Zeile legt dann ${}x$ fest, nämlich

${}{\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}{\left(3-2z-5y+v\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(3-2{\left(-{\frac {31}{26}}+{\frac {1}{3}}u-{\frac {4}{13}}v\right)}-5{\left({\frac {8}{13}}+{\frac {5}{13}}v\right)}+v\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {30}{13}}-{\frac {2}{3}}u-{\frac {4}{13}}v\right)}\\&={\frac {15}{13}}-{\frac {1}{3}}u-{\frac {2}{13}}v.\end{aligned}}$

Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als

${\left\{{\left({\frac {15}{13}}-{\frac {1}{3}}u-{\frac {2}{13}}v,{\frac {8}{13}}+{\frac {5}{13}}v,-{\frac {31}{26}}+{\frac {1}{3}}u-{\frac {4}{13}}v,u,v\right)}\mid u,v\in \mathbb {R} \right\}}$

schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen ${}u$ und ${}v$ gleich ${}0$ setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung

${}(x,y,z,u,v)=\left({\frac {15}{13}},\,{\frac {8}{13}},\,-{\frac {31}{26}},\,0,\,0\right)\,.$

In der allgemeinen Lösung kann man ${}u$ und ${}v$ als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als

${\left\{{\left({\frac {15}{13}},{\frac {8}{13}},-{\frac {31}{26}},0,0\right)}+u{\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}+v{\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}\mid u,v\in \mathbb {R} \right\}}$

schreiben. Dabei ist

${\left\{u{\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}+v{\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}\mid u,v\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.