Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel

Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& +2z& & -v& =& 3\\ 3x& -4y& & +u& +2v& =& 1\\ 4x& & -2z& +2u& & =& 7\end{array}$

über $ℝ$ (oder $\mathbb{Q}$) lösen. Wir eliminieren zuerst $x$, indem wir die erste Zeile $I$ beibehalten, die zweite Zeile $II$ durch $II-\frac{3}{2}I$ und die dritte Zeile $III$ durch $III-2I$ ersetzen. Das ergibt

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& +2z& & -v& =& 3\\ & -\frac{23}{2}y& -3z& +u& +\frac{7}{2}v& =& \frac{-7}{2}\\ & -10y& -6z& +2u& +2v& =& 1.\end{array}$

Wir könnten jetzt aus der (neuen) dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile $y$ eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber $z$ (dies eliminiert gleichzeitig $u$). Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile $III$ durch $III-2II$. Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge der Variablen aufschreiben, das System

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2z& & +5y& -v& =& 3\\ & -3z& +u& -\frac{23}{2}y& +\frac{7}{2}v& =& \frac{-7}{2}\\ & & & 13y& -5v& =& 8.\end{array}$

Wir können uns nun $v$ beliebig (oder „frei“) vorgeben. Die dritte Zeile legt dann $y$ eindeutig fest, es muss nämlich

$y=\frac{8}{13}+\frac{5}{13}v$

gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder $u$ beliebig vorgeben, was dann $z$ eindeutig festlegt, nämlich

$\begin{array}{cc}z& =-\frac{1}{3}(-\frac{7}{2}-u-\frac{7}{2}v+\frac{23}{2}(\frac{8}{13}+\frac{5}{13}v))\\ & =-\frac{1}{3}(-\frac{7}{2}-u-\frac{7}{2}v+\frac{92}{13}+\frac{115}{26}v)\\ & =-\frac{1}{3}(\frac{93}{26}-u+\frac{12}{13}v)\\ & =-\frac{31}{26}+\frac{1}{3}u-\frac{4}{13}v.\end{array}$

Die erste Zeile legt dann $x$ fest, nämlich

$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{2}(3-2z-5y+v)\\ & =\frac{1}{2}(3-2(-\frac{31}{26}+\frac{1}{3}u-\frac{4}{13}v)-5(\frac{8}{13}+\frac{5}{13}v)+v)\\ & =\frac{1}{2}(\frac{30}{13}-\frac{2}{3}u-\frac{4}{13}v)\\ & =\frac{15}{13}-\frac{1}{3}u-\frac{2}{13}v.\end{array}$

Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als

$\{(\frac{15}{13}-\frac{1}{3}u-\frac{2}{13}v,\frac{8}{13}+\frac{5}{13}v,-\frac{31}{26}+\frac{1}{3}u-\frac{4}{13}v,u,v)\mid u,v\in ℝ\}$

schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen $u$ und $v$ gleich $0$ setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung

$(x,y,z,u,v)=(\frac{15}{13},\frac{8}{13},-\frac{31}{26},0,0).$

In der allgemeinen Lösung kann man $u$ und $v$ als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als

$\{(\frac{15}{13},\frac{8}{13},-\frac{31}{26},0,0)+u(-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3},1,0)+v(-\frac{2}{13},\frac{5}{13},-\frac{4}{13},0,1)\mid u,v\in ℝ\}$

schreiben. Dabei ist

$\{u(-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3},1,0)+v(-\frac{2}{13},\frac{5}{13},-\frac{4}{13},0,1)\mid u,v\in ℝ\}$

eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.