Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel

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Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem

über (oder ) lösen. Wir eliminieren zuerst , indem wir die erste Zeile beibehalten, die zweite Zeile durch und die dritte Zeile durch ersetzen. Das ergibt

Wir könnten jetzt aus der (neuen) dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber (dies eliminiert gleichzeitig ). Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile durch . Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge aufschreiben, das System

Wir können uns nun beliebig (oder „frei“) vorgeben. Die dritte Zeile legt dann eindeutig fest, es muss nämlich

gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder beliebig vorgeben, was dann eindeutig festlegt, nämlich

Die erste Zeile legt dann fest, nämlich

Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als

schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen und gleich setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung

In der allgemeinen Lösung kann man und als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als

schreiben. Dabei ist

eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.