Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt

$\begin{array}{cccccccc}{a}_{11}{x}_1& +a_{12}{x}_2& \dots & +a_{1m}{x}_m& \dots & +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ 0& a_{22}{x}_2& \dots & \dots & \dots & +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& =& ⋮\\ 0& \dots & 0& a_{mm}{x}_m& \dots & +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

mit  $m\le n$  gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente $a_{ii}$ alle ungleich $0$ seien.

Dann stehen die Lösungen $(x_1,\dots ,x_m,x_{m+1},\dots ,x_n)$ in Bijektion zu den Tupeln  $(x_{m+1},\dots ,x_n)\in K^{n-m}$.  D.h. die hinteren $n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen