Linearform/Analysis/Beispiel

Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall ${}[a,b]$ sind die Menge der Funktionen ${}\operatorname {Abb} ([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetigen Funktionen ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${}C^{1}([a,b],\mathbb {R} )$ reelle (ineinander enthaltene) Vektorräume. Zu einem Punkt ${}P\in [a,b]$ ist jeweils die Auswertung ${}f\mapsto f(P)$ eine Linearform (wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen). Ebenso ist die Auswertung der Ableitung

$C^{1}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f'(P),$

eine Linearform. Für ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ ist ferner das Integral, also die Abbildung

$C([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{a}^{b}f(t)dt,$

eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.