Linearkombination/R/2/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}2x+4y+z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\+2y+z&=&1\,\end{matrix}}

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable ${}y$ aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist

{\begin{matrix}14x\,\,\,\,\,\,\,\,+9z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&1\,.\end{matrix}}

Wir eliminieren nun die Variable ${}x$ , aus der dritten Gleichung

{\begin{matrix}42x\,\,\,\,\,\,\,\,27z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&7\,.\end{matrix}}

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

z={\frac {7}{8}},

{}x=-{\frac {9}{16}}\,

und

{}y={\frac {1}{16}}\,.

Also ist

{}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=-{\frac {9}{16}}{\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {7}{8}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\,.