Linksnebenklasse, Index und Normalteiler/Erläutere/Index 2/Aufgabe/Lösung

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt eine Teilmenge der Form ${}gH={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ mit ${}g\in G$ eine Linksnebenklasse. Die Anzahl der Linksnebenklassen heißt der Index von ${}H$ in ${}G$. Eine Untegruppe heißt Normalteiler, wenn ${}gH=Hg$ ist für jedes ${}g\in G$.

Es sei nun ${}H$ eine Untergruppe von ${}G$ vom Index zwei. D.h. es gibt zwei Linksnebenklassen, nämlich ${}H=e_{G}H$ und eine weitere Klasse ${}K=fH$ mit ${}f\not \in H$. Für zwei Elemente ${}u,v\not \in H$ ist ${}uH=fH$ und ${}uv\in H$, da andernfalls ${}uvH=uH$ und somit durch Kürzen doch ${}v\in H$ gelten würde.

Es sei nun ${}g\in G$ beliebig. Bei ${}g\in H$ ist natürlich ${}gH=H=Hg$, sei also ${}g\not \in H$. Dann ist ${}gH=fH=G\setminus H$, da es sonst keine weitere Linksnebenklassen gibt. Wegen ${}Hg\subseteq G\setminus H$ ist ${}Hg\subseteq gH$.

Umgekehrt sei ${}gh$ mit ${}h\in H$ gegeben. Dann ist ${}(gh)(g^{-1}h)=h'\in H$ nach der Vorüberlegung und daraus folgt ${}gh=h'h^{-1}g$, also auch ${}gH\subseteq Hg$.

Zur gelösten Aufgabe