Logarithmus

Einführung

• Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens
• Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation
• Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition

Denn es gilt

$x=\log _{b}a$

$\Leftrightarrow b^{x}=b^{\log _{b}a}$

$\Leftrightarrow b^{x}=a$

Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division

$x={\frac {a}{b}}$

$\Leftrightarrow b\cdot x=b\cdot {\frac {a}{b}}$

$\Leftrightarrow b\cdot x=a$

Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion

$x=a-b$

$\Leftrightarrow b+x=b+a-b$

$\Leftrightarrow b+x=a$

Schreibweise

Man schreibt für den Logarithmus von $a$ zur Basis $b$

$x=\log _{b}a$

und sagt: „$x$ ist der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$“. $a$ heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand. Das Ergebnis $x$ des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis $b$ potenzieren muss, um den Numerus $a$ zu erhalten. Passend zu ${\textstyle x=\log _{b}a}$ ist also ${\textstyle b^{x}=a}$.

Rechenregeln

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y$

zur Verfügung;

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

$\log _{b}{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers $x$ minus den Logarithmus des Nenners $y$.

Insbesondere ergibt sich daraus (da $\log 1=0$):

$\log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x$

Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das Kehrwertgesetz:

$\log _{b}{\frac {x}{y}}=-\log _{b}{\frac {y}{x}}$

Summen und Differenzen (selten genutzt)

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie $x+y$ hergeleitet werden, indem $x$ ausgeklammert wird:

$x+y=x\left(1+{\frac {y}{x}}\right).$

Damit ergibt sich die „Regel“

$\log _{b}(x+y)=\log _{b}x+\log _{b}\left(1+{\frac {y}{x}}\right).$

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent $r$ gilt die Regel

$\log _{b}\left(x^{r}\right)=r\log _{b}x.$

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Auch daraus lässt sich für $r=-1$

$\log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x$

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs ${\tfrac {1}{x}}$ ist der negative Logarithmus des Nenners $x$.

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

$\log _{b}{\sqrt[{n}]{x}}=\log _{b}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{b}x.$

Aufgaben

1. Berechne $\log _{10}(4)+\log _{10}(25)$
2. Berechne $(\log _{12}(24))^{2}$
3. Berechne ${\frac {ln(e)}{(ln(e^{3}))}}$

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis $b$ mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis $a$ zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

$\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}$

denn mit $y=\log _{b}x$ gelten die Umformungen

${\begin{aligned}b^{y}&=x\\\log _{a}b^{y}&=\log _{a}x\\y\log _{a}b&=\log _{a}x\\y&={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}\end{aligned}}$

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$ oder $\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1$

Beispiel

$\log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}$

für beliebige positive Zahlen $x$ ist ${\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585$

Aufgaben

1. Berechne $\log _{4}(10)$
2. Berechne $\log _{12}(36)$
3. Berechne $\ln(e)$
4. Berechne $\log _{5}(5)$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Der Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion ${\textstyle f}$, mit der Basis ${\textstyle a}$ (${\textstyle a>0}$ und ${\textstyle a\neq 1}$).

Exponentialfunktion

${\textstyle f_{a}(x)=a^{x}}$

Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.

Logarithmusfunktion

${\textstyle {\tilde {f}}_{a}(x)=\log _{a}(x)}$

Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4

Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen

Neben der allgemeinen Schreibweise

${\textstyle f_{a}(x)=a^{x}}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{a}(x)=\log _{a}(x)}$

gibt es noch weitere spezielle Bezeichnungen, je nach benutzter Basis ${\textstyle a}$.

Basis ${\textstyle a=2}$

${\textstyle f_{2}(x)=2^{x}}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{2}=log_{2}(x)=ld(x)}$, ${\textstyle ld}$ ist die Abkürzung für ${\textstyle log_{2}}$ und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus).

Basis ${\textstyle a=e}$

${\textstyle f_{e}(x)=e^{x}}$, :${\textstyle e}$ steht hier für die Eulersche Zahl und entspricht in etwa ${\textstyle e=2{,}718}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{e}=log_{e}(x)=ln(x)}$, ${\textstyle ln}$ ist die Abkürzung für ${\textstyle log_{e}}$ und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus).

Basis ${\textstyle a=10}$

${\textstyle f_{10}(x)=10^{x}}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{10}=log_{10}(x)=lg(x)}$, ${\textstyle lg}$ ist die Abkürzung für ${\textstyle log_{10}}$ (Dekadischer Logarithmus). Auf dem Taschenrechner wird ${\textstyle lg}$ oft fälschlicherweise als ${\textstyle log}$ bezeichnet.

Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon

Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an.

Quadratfunktion

Wir definieren die quadratische Funktion ${\textstyle f(x)=x^{2}}$ Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich ${\textstyle \mathbb {D} }$ und Wertebereich ${\textstyle \mathbb {W} }$ von ${\textstyle f}$. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion ${\textstyle f}$ eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert ${\textstyle f(x)}$ bzw. ${\textstyle y}$ annehmen können. In die Funktion ${\textstyle f(x)=x^{2}}$ dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also ${\textstyle \mathbb {R} }$. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt ${\textstyle (0,0)}$). Der Wertebereich ist also ${\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

Mathematische Notation der Quadrat-Funktion

${\textstyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\textstyle x\mapsto f(x)=x^{2}}$

Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall ${\textstyle x}$, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: ${\textstyle f(x)=x^{2}}$).

Wurzelfunktion

Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :${\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$. Ebenso ist der Wertebereich definiert.

Mathematische Notation der Wurzel-Funktion

${\textstyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\textstyle x\mapsto {\tilde {f}}(x)={\sqrt {x}}}$

Was passiert beim Umkehren

Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen ${\textstyle f}$ und ${\textstyle {\tilde {f}}}$. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion ${\textstyle g}$. Die Definition von ${\textstyle g}$ ist:

${\textstyle g\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\textstyle x\mapsto g(x)=f({\tilde {f}}(x))=f({\sqrt {x}})=({\sqrt {x}})^{2}=x}$

Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle ${\textstyle x}$ aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder ${\textstyle x}$ herauskommt.

Beispiel

Sei ${\textstyle x=3}$.

${\textstyle f(x)=x^{2}\Rightarrow f(3)=3^{2}=9}$

${\textstyle {\tilde {f}}(x)={\sqrt {x}}\Rightarrow {\tilde {f}}(f(x))={\sqrt {f(x)}}\Rightarrow {\tilde {f}}(9)={\sqrt {9}}=3=x}$

Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis ${\textstyle a}$, hier benannt als ${\textstyle f_{a}}$, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (${\textstyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }$). Alle Funktionswerte von ${\textstyle f_{a}}$ sind größer als ${\textstyle 0}$, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer ${\textstyle 0}$ (${\textstyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{+}}$). In anderen Worten ${\textstyle x}$ kann zwischen ${\textstyle -\infty }$ und ${\textstyle \infty }$ liegen, also ${\textstyle -\infty <x<\infty }$. Die Funktionswerte sind größer ${\textstyle 0}$, also ${\textstyle 0<f_{a}(x)<\infty }$.

${\textstyle f_{a}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$

${\textstyle x\mapsto f_{a}(x)=a^{x}}$ mit (${\textstyle a>0}$ und ${\textstyle a\neq 1}$)

Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis ${\textstyle a}$, hier als ${\textstyle {\tilde {f}}_{a}}$ bezeichnet, hat den Definitionsbereich ${\textstyle \mathbb {R} ^{+}}$ und den Wertebereich ${\textstyle \mathbb {R} }$.

${\textstyle {\tilde {f}}_{a}\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$

${\textstyle x\mapsto {\tilde {f}}_{a}(x)=log_{a}(x)}$ mit (${\textstyle a>0}$ und ${\textstyle a\neq 1}$)

Was passiert beim Umkehren

Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis ${\textstyle a}$) nacheinander ausführen. Wir führen zuest ${\textstyle {\tilde {f}}_{a}}$ aus und dann ${\textstyle f_{a}}$, bennenen wir dies als ${\textstyle g_{a}}$ dann gilt:

${\textstyle g_{a}\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\textstyle x\mapsto g_{a}(x)=f({\tilde {f}}(x))=a^{log_{a}(x)}=x}$

Beispiel

Sei die Basis ${\textstyle a=2}$.

${\textstyle f_{2}(x)=2^{x}}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{2}(x)=log_{2}(x)=ld(x)}$ (${\textstyle ld}$ steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für ${\textstyle log_{2}}$)

${\textstyle g_{a}(x)=2^{l}d(x)}$

Sei ${\textstyle x=8}$.

${\textstyle f_{2}(x)=2^{x}\Rightarrow f_{2}(8)=2^{8}=256}$

${\textstyle {\tilde {f}}_{2}(x)=ld(x)\Rightarrow {\tilde {f}}_{2}((f_{2}(8))=ld(2^{8})=ld(256)=8}$

Aufgaben

1. In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen ${\textstyle x}$, die in die Funktion ${\textstyle {\tilde {f}}_{a}\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$ mit ${\textstyle x\mapsto {\tilde {f}}_{a}(x)=log_{a}(x)}$ eingesetzt werden dürfen.
2. In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von ${\textstyle {\tilde {f}}_{a}}$.
3. Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion ${\textstyle h_{a}}$ mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. ${\textstyle h_{a}}$ soll die Funktion sein bei der zuerst ${\textstyle f_{a}}$ und dann ${\textstyle {\tilde {f}}_{a}}$ ausgeführt wird.
4. Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von ${\textstyle a^{x}}$ und ${\textstyle \log _{a}(x)}$ verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92

Komplexer Logarithmus

Riemannsche Fläche der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.

Hauptwert $\ln z$ des Logarithmus

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$, welche die Gleichung

$\mathrm {e} ^{w}=z$

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$. Für jedes $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ existiert ein solches $w$, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen

$\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z}$,

nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus $w$ von $z$ gefunden, so ist damit auch

$w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i}$

mit jeder ganzen Zahl $k$ ein Logarithmus von $z$, denn es gilt

$\mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z$.

Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für $w$ solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z. B. den Streifen

$\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}$

verwenden. Ein Wert $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert (englisch principal value) des Logarithmus, und man schreibt $w=\ln z$. Stellt man $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}$ in Polarform dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweiges der Logarithmusfunktion:

$w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}$

mit der Argument-Funktion $\arg$. Im Summanden $\ln |z|$ wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus $\ln$ verwendet. Für $k=0$ erhält man den Hauptzweig des komplexen Logarithmus zurück:

$\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z$ .

$\ln$ ist nicht stetig auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist $\ln$ auf dem Gebiet

$\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}$

stetig und sogar holomorph.

Zweige des Logarithmus als Potenzreihen

Jede auf einem Gebiet $G$ holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von ${\frac {1}{z}}$ und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige Entwicklungspunkte $z_{o}=|z_{o}|\cdot e^{it}\not =0$ über die geometrische Reihe mit $q={\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}}$ und $|z-z_{0}|<|z_{0}|$:

$f(z)={\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}} _{=q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\frac {(-1)^{n}}{z_{o}^{n+1}}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{o})^{n}$

Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ mit $r<|z_{0}|$ und $c=\ln(|z_{o}|)+i\cdot t$:

$F(z)=c+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z_{o}^{n+1}\cdot (n+1)}}\cdot (z-z_{o})^{n+1}$

Der zugehörige Zweig von $F$ ist insgesamt auf dem Gebiet $G:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=\lambda \cdot z_{0}{\mbox{ mit }}0\geq \lambda \in \mathbb {R} \}$ definiert.

Zur Beachtung

Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus $\ln$ gelten nicht alle der weiter oben angeführten Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion. Sie gelten nur ${\text{mod }}2\pi \mathrm {i}$. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von

$\ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )=\left(\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} \right)+\left(\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} \right)=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i}$

mit

$\ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i}$

zeigt, dass

$\ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)$

nicht für alle von $0$ verschiedenen komplexen Zahlen $x$ und $y$ richtig ist. Auch die Gleichung

$y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}$

ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel

$2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })$

beweist.

• Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus
• 
  Betrag von $\ln z$
• 
  Realteil von $\ln z$
• 
  Imaginärteil von $\ln z$

Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:

$\ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .$

Das setzt voraus, dass die Argument-Funktion $\arg$ negativen reellen Zahlen den Wert $\pi$ zuweist.

Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der Argument-Funktion zurückzuführen ist.

Siehe auch

• Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige
• Potenzreihenentwicklungen für 1/z
• Kurs:Funktionentheorie

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• Logarithmus https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
• Datum: 13.3.2026
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Siehe auch

• komplexwertiger Logarithmus in der Funktionentheorie