Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wie betrachten die Menge

$M={\left\{\Delta \mid \Gamma \subseteq \Delta \subseteq L^{S},\,\Delta {\text{ widerspruchsfreie Ausdrucksmenge}}\right\}}\,$

aller widerspruchsfreien ${}S$-Ausdrucksmengen oberhalb von ${}\Gamma$. Es ist ${}\Gamma \in M$. Es sei ${}N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung ${}\Delta '=\bigcup _{\Delta \in N}\Delta$ ist ebenfalls eine ${}S$-Ausdrucksmenge, die ${}\Gamma$ umfasst. Sie ist auch widerspruchsfrei. Würde nämlich ${}\Delta '\vdash \neg \alpha \wedge \alpha$ gelten, so könnte man schon aus einer endlichen Teilmenge ${}T\subseteq \Delta '$ einen Widerspruch ableiten. Die Elemente aus ${}T$ liegen jeweils in je einem ${}\Delta \in N$, und da diese eine Kette bilden, gibt es auch ein ${}{\tilde {\Delta }}$ mit ${}T\subseteq {\tilde {\Delta }}$, also wäre ${}{\tilde {\Delta }}$ widersprüchlich. Somit sind die Voraussetzungen im Lemma von Zorn erfüllt und daher gibt es eine maximale Menge ${}\Gamma '$ in ${}M$. Diese ist offenbar maximal widerspruchsfrei.

Zur bewiesenen Aussage