Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wie betrachten die Menge

aller widerspruchsfreien -Ausdrucksmengen oberhalb von . Es ist . Es sei eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung ist ebenfalls eine -Ausdrucksmenge, die umfasst. Sie ist auch widerspruchsfrei. Würde nämlich gelten, so könnte man schon aus einer endlichen Teilmenge einen Widerspruch ableiten. Die Elemente aus liegen jeweils in je einem , und da diese eine Kette bilden, gibt es auch ein mit , also wäre widersprüchlich. Somit sind die Voraussetzungen im Lemma von Zorn erfüllt und daher gibt es eine maximale Menge in . Diese ist offenbar maximal widerspruchsfrei.