Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Äquivalenzrelation liegt aufgrund von Axiom  (1) und Fakt (1), (2) vor, da ja ${}\Gamma$ nach Voraussetzung abgeschlossen unter Ableitungen ist und insbesondere alle syntaktischen Tautologien enthält.

Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen, die wir in diesem Zusammenhang Termklassen nennen. Es sei ${}R$ ein ${}n$-stelliges Relationssymbol. Es sei ${}([s_{1}],\ldots ,[s_{n}])$ ein ${}n$-Tupel aus Termklassen, die einerseits durch das Termtupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$ und andererseits durch das Termtupel ${}(t_{1},\ldots ,t_{n})$ repräsentiert werde. Es gilt also ${}s_{i}\sim t_{i}$ bzw. ${}s_{i}=t_{i}\in \Gamma$. Wenn nun ${}Rs_{1}\ldots s_{n}$ zu ${}\Gamma$ gehört, so folgt aus Fakt  (4) auch ${}Rt_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$. Unter den gleichen Voraussetzungen folgt mit Fakt  (3) die Zugehörigkeit ${}fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$ und somit

${}[fs_{1}\ldots s_{n}]=[ft_{1}\ldots t_{n}]\,,$

also die Wohldefiniertheit der Funktion.

Zur bewiesenen Aussage