Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung

$y^{\prime }=5y-3y^2.$

Eine Stammfunktion zu

$\frac{1}{5y-3y^2}=\frac{1}{y(5-3y)}=\frac{\frac{1}{5}}{y}+\frac{\frac{3}{5}}{5-3y}$

ist

$\frac{1}{5}\ln y-\frac{1}{5}\ln (5-3y)=\frac{1}{5}\ln \left(\frac{y}{5-3y}\right).$

Zur Bestimmung der Umkehrfunktion setzen wir

$z=\frac{1}{5}\ln \left(\frac{y}{5-3y}\right),$

also ist

$e^{5z}=\frac{y}{5-3y}$

und somit

$(5-3y)e^{5z}=y$

und

$y(1+3e^{5z})=5e^{5z}$

und somit

$y=\frac{5e^{5z}}{1+3e^{5z}}=\frac{5}{e^{-5z}+3}.$

Die Lösungen der Differentialgleichung haben also die Form

$y(t)=\frac{5}{e^{-5(t+c)}+3}.$

Die Anfangsbedingung führt auf

$y(0)=\frac{5}{e^{-5c}+3}=1,$

also

$e^{-5c}+3=5$

bzw.

$e^{-5c}=2$

und

$c=-\frac{\ln 2}{5}.$

Also ist die Lösung gleich

$\begin{array}{cc}y(t)& =\frac{5}{e^{-5(t-\frac{\ln 2}{5})}+3}\\ & =\frac{5}{e^{-5t+\ln 2}+3}\\ & =\frac{5}{2e^{-5t}+3}.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe