Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung

${}y'=5y-3y^{2}\,.$

Eine Stammfunktion zu

${}{\frac {1}{5y-3y^{2}}}={\frac {1}{y(5-3y)}}={\frac {\frac {1}{5}}{y}}+{\frac {\frac {3}{5}}{5-3y}}\,$

ist

${}{\frac {1}{5}}\ln y-{\frac {1}{5}}\ln \left(5-3y\right)={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {y}{5-3y}}\right)\,.$

Zur Bestimmung der Umkehrfunktion setzen wir

${}z={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {y}{5-3y}}\right)\,,$

also ist

${}e^{5z}={\frac {y}{5-3y}}\,$

und somit

${}(5-3y)e^{5z}=y\,$

und

${}y(1+3e^{5z})=5e^{5z}\,$

und somit

${}y={\frac {5e^{5z}}{1+3e^{5z}}}={\frac {5}{e^{-5z}+3}}\,.$

Die Lösungen der Differentialgleichung haben also die Form

${}y(t)={\frac {5}{e^{-5(t+c)}+3}}\,.$

Die Anfangsbedingung führt auf

${}y(0)={\frac {5}{e^{-5c}+3}}=1\,,$

also

${}e^{-5c}+3=5\,$

bzw.

${}e^{-5c}=2\,$

und

${}c=-{\frac {\ln 2}{5}}\,.$

Also ist die Lösung gleich

${}{\begin{aligned}y(t)&={\frac {5}{e^{-5(t-{\frac {\ln 2}{5}})}+3}}\\&={\frac {5}{e^{-5t+\ln 2}+3}}\\&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe