Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}.$

a) Bestimme die erste Ableitung von ${}f$.

b) Bestimme die zweite Ableitung von ${}f$.

c) Bestimme den Wendepunkt von ${}f$.

d) Bestimme das Monotonieverhalten von ${}f$.

e) Bestimme die Grenzwerte der Funktion ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ und ${}x\rightarrow -\infty$.

f) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$.

g) Bestimme das uneigentliche Integral der Funktion ${}f$ über ${}]{-\infty },0]$.

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