Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei ein Erzeugendensystem von . Nach Voraussetzung gibt es wegen zu jedem eine Darstellung

mit . Daraus ergibt sich für jedes eine Darstellung

Da ist, ist der Koeffizient eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach auflösen kann, so dass also überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.

Zur bewiesenen Aussage