Beweis
Es sei
ein
Erzeugendensystem
von
. Nach Voraussetzung gibt es wegen
zu jedem
eine Darstellung
-
![{\displaystyle {}v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a554a5c6505454aa3223621abf7ec792e031287)
mit
. Daraus ergibt sich für jedes
eine Darstellung
-
![{\displaystyle {}(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c0db6c4a8ec22ae7a29898438b3b1184ad27e4)
Da
ist, ist der Koeffizient
eine
Einheit.
Dies bedeutet aber, dass man nach
auflösen kann, so dass also
überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.