Beweis
Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente
genau dann ein
-Erzeugendensystem für
bilden, wenn deren Restklassen in
ein
-Erzeugendensystem von
bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente
gegeben, die modulo
ein Erzeugendensystem sind. Es sei
der von den
erzeugte
-Untermodul von
. Die Voraussetzung übersetzt sich zu
.
Wir betrachten den Restklassenmodul
. Dort gilt dann
,
woraus
nach dem Lemma von Nakayama
die Gleichheit
und
folgt.