Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei ${}U\subseteq V$ der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$. Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$, woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit ${}V/U=0$ und ${}V=U$ folgt.

Zur bewiesenen Aussage