Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei  ${}U\subseteq V$  der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu  ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$.  Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann  ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$,  woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit  ${}V/U=0$  und  ${}V=U$  folgt.

Zur bewiesenen Aussage