Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Bemerkung

Die Lokalisierung an einem Primideal kann regulär sein, ohne dass der Ausgangsring regulär ist. In der Tat ist das ein sehr häufiges und typisches Verhalten. Wenn beispielsweise ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so ist die Lokalisierung am Primideal

${}{\mathfrak {p}}=(0)\,$

der Quotientenkörper von ${}R$, und als Körper stets regulär. In einer Primidealkette

${}(0)\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {m}}\,$

gibt es somit ein größtes Primideal, das regulär ist (dieses kann gleich ${}{\mathfrak {m}}$ sein). Wenn nämlich ${}R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ regulär ist, so ist ${}R_{{\mathfrak {p}}_{j}}$ für ${}j\leq i$ eine Lokalisierung von ${}R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ und somit nach Fakt selbst regulär.