Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Der Restklassenmodul ${}R/{\mathfrak {p}}$ ist endlich erzeugt, deshalb gibt es nach Fakt  (2) eine endliche freie Auflösung

$0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Wir tensorieren diese Sequenz mit der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$. Da die Tensorierung mit einer Nenneraufnahme nach Fakt exakt ist, erhalten wir eine endliche freie Auflösung (über ${}R_{\mathfrak {p}}$)

$0\longrightarrow F_{n}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{1}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{0}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Wegen

${}R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})\,$

(nach Fakt  (2)) ist dies eine freie Auflösung des Restklassenkörpers von ${}R_{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt  (3) ist somit ${}R_{\mathfrak {p}}$ regulär.

Zur bewiesenen Aussage