Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe/Lösung

Bei ${}{\mathfrak {a}}=R$ ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$. Es sei ${}r\in R$ ein Repräsentant einer Einheit aus ${}R/{\mathfrak {a}}$, und sei ${}s\in R$ derart, dass

${}rs=1\,$

in ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist. Dies bedeutet

${}rs-1\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

in ${}R$. Wenn ${}r$ keine Einheit wäre, so wäre ${}rs\in {\mathfrak {m}}$ und dann ergäbe sich der Widerspruch

${}1=(1-rs)+rs\in {\mathfrak {m}}\,.$

Also ist ${}r$ selbst eine Einheit.

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