Lokalisierungsproblem/Beispiel/Beobachtungen

Es sei

${}g=z^{4}+z^{2}xy+z{\left(x^{3}+y^{3}\right)}+{\left(t+t^{2}\right)}x^{2}y^{2}=z^{4}+z^{2}xy+z{\left(x^{3}+y^{3}\right)}+sx^{2}y^{2}\,$

und

${}S={\mathbb {F} }_{2}[t,x,y,z]/(g)\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}z^{8}&={\left(z^{2}xy+z{\left(x^{3}+y^{3}\right)}+sx^{2}y^{2}\right)}^{2}\\&=z^{4}x^{2}y^{2}+z^{2}{\left(x^{6}+y^{6}\right)}+s^{2}x^{4}y^{4}\\&={\left(z^{2}xy+z{\left(x^{3}+y^{3}\right)}+sx^{2}y^{2}\right)}x^{2}y^{2}+z^{2}{\left(x^{6}+y^{6}\right)}+s^{2}x^{4}y^{4}\\&={\left(s+s^{2}\right)}x^{4}y^{4}+{\left(x^{3}+y^{3}\right)}x^{2}y^{2}z+{\left(x^{6}+y^{6}+x^{3}y^{3}\right)}z^{2}\\&={\left(t+t^{4}\right)}x^{4}y^{4}+{\left(x^{3}+y^{3}\right)}x^{2}y^{2}z+{\left(x^{6}+y^{6}+x^{3}y^{3}\right)}z^{2}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}z^{16}&={\left({\left(t+t^{4}\right)}x^{4}y^{4}+{\left(x^{3}+y^{3}\right)}x^{2}y^{2}z+{\left(x^{6}+y^{6}+x^{3}y^{3}\right)}z^{2}\right)}^{2}\\&={\left(t^{2}+t^{8}\right)}x^{8}y^{8}+{\left(x^{6}+y^{6}\right)}x^{4}y^{4}z^{2}+{\left(x^{12}+y^{12}+x^{6}y^{6}\right)}z^{4}\\&={\left(t^{2}+t^{8}\right)}x^{8}y^{8}+{\left(x^{6}+y^{6}\right)}x^{4}y^{4}z^{2}+{\left(x^{12}+y^{12}+x^{6}y^{6}\right)}{\left(z^{2}xy+z{\left(x^{3}+y^{3}\right)}+{\left(t+t^{2}\right)}x^{2}y^{2}\right)}\\&={\left(t+t^{8}\right)}x^{8}y^{8}+{\left(x^{12}+y^{12}\right)}x^{2}y^{2}{\left(t+t^{2}\right)}+{\left(x^{12}+y^{12}+x^{6}y^{6}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)}z+{\left({\left(x^{6}+y^{6}\right)}x^{4}y^{4}+xy{\left(x^{12}+y^{12}+x^{6}y^{6}\right)}\right)}z^{2}.\end{aligned}}$

Die Destabilisierungsbedingung zu ${}(X^{q},Y^{q},Z^{q})$ kann man durch eine ${}{\left({\frac {q}{2}}-1\right)}\times {\left({\frac {q}{2}}-1\right)}$-Matrix ausdrücken. Man schreibt ${}Z^{q}$ als ein Polynom in ${}Z^{0},Z^{1},Z^{2},Z^{3}$ mit Koeffizienten in ${}t,X,Y$, sagen wir ${}R_{0}+R_{1}Z+R_{2}Z^{2}+R_{3}Z^{3}$ mit

${}R_{3}=0\,.$

Die Frage, ob die Polynome ${}X^{q},Y^{q},Z^{q}$ eine destabilisierende nichttriviale Syzygie ${}(A,B,C)$ vom Totalgrad ${}{\frac {3}{2}}q-1$ haben wird zur Frage, ob es ein ${}C_{0}$ vom Grad ${}{\frac {1}{2}}q-1$ bzw. ein ${}C_{1}$ vom Grad ${}{\frac {1}{2}}q-2$ etc. gibt mit ${}{\left(C_{0}+C_{1}Z+C_{2}Z^{2}+C_{3}Z^{3}\right)}{\left(R_{0}+R_{1}Z^{1}+R_{2}Z^{2}\right)}\in (X^{q},Y^{q})$. Dies ist für jedes Monom ${}X^{i}Y^{j}$ mit ${}i+j=q/2$ und ${}i,j<q$ eine Bedingung. Daher ist

${}i={\frac {q}{2}}+1,\ldots ,q-1\,$

und es liegen ${}{\frac {q}{2}}-1$ Bedingungen vor. Dies ist die Anzahl der Koeffizienten in ${}C_{1}$.

Insgesamt hat man

${}{\frac {q}{2}}+{\frac {q}{2}}-1+{\frac {q}{2}}-2+{\frac {q}{2}}-3=2q-6\,$

Koeffizienten und damit Freiheitsgrade. Insgesamt gibt es ${}2q-4$ Bedingungen, passt nicht ganz. In ${}R_{0}$ treten nur Monome mit zweifach geraden Exponenten auf, in ${}R_{1}$ nur Monome mit einem geraden und einem ungeraden Exponenten.

Betrachten wir nur ${}C_{1}$ und ${}R_{0}$. Für

${}q=8\,$

ist

${}C_{1}R_{0}=C_{1}{\left({\left(t+t^{4}\right)}X^{4}Y^{4}\right)}\in {\left(X^{8},Y^{8}\right)}\,$

mit ${}C_{1}$ homogen vom Grad ${}2$ zu überprüfen, die Bedingungen beziehen sich auf ${}X^{5}Y^{7},X^{6}Y^{6},X^{7}Y^{5}$ und

${}C_{1}=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,.$

Es geht um die Frage, ob

${}{\begin{pmatrix}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

eine nichttriviale Lösung besitzt.

Destabilisierungsverhalten. Es sei ${}d$ der Grad von ${}\alpha$ über ${}{\mathbb {F} }_{2}$. Wegen ${}XY(Y^{3}Z^{3})^{2^{d-1}}\notin (X^{4},Y^{4},Z^{4})^{2^{d-1}}=(X,Y,Z)^{2^{d+1}}$ muss spätestens für den ${}(d+1)$-ten Frobenius pull-back eine Destabilisierung vorliegen. Für den ${}(d+1)$-ten Frobenius pull-back liegt eine Destabilisierung der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{C}(3\cdot 2^{d}+1)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X^{2^{d+1}},Y^{2^{d+1}},Z^{2^{d+1}}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{C}(3\cdot 2^{d}-1)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, die Formel für die Hilbert-Kunz-Multiplizität ergibt

${}{\begin{aligned}e_{HK}(R_{\alpha })&=2{\left(\left({\frac {3\cdot 2^{d}+1}{2^{d+1}}}\right)^{2}+\left({\frac {3\cdot 2^{d}-1}{2^{d+1}}}\right)^{2}-3\right)}\\&=2{\left({\frac {{\left(3\cdot 2^{d}+1\right)}^{2}+{\left(3\cdot 2^{d}-1\right)}^{2}}{2^{2(d+1)}}}-3\right)}\\&=2{\left({\frac {2\cdot 9\cdot 2^{2d}+2}{2^{2(d+1)}}}-3\right)}\\&={\frac {9\cdot 2^{2d+2}+4}{2^{2(d+1)}}}-6\\&=3+{\frac {1}{4^{d}}}.\end{aligned}}$

Grundsätzlich könnte links und rechts auch eine andere invertierbare Garbe von diesem Grad stehen.

Dies ergibt die folgende Rangabschätzung: Für ${}\alpha$ vom Grad ${}d$ und ${}e\geq d+1$ besitzt ${}\operatorname {Syz} {\left(X^{2^{e}},Y^{2^{e}},Z^{2^{e}}\right)}(3\cdot 2^{e-1})$ eine destabilisierende invertierbare Untergarbe ${}{\mathcal {L}}$ vom Grad ${}4(2^{e-d-1})$. Sie besitzt nach Riemann-Roch zumindest

${}h^{0}({\mathcal {L}})=h^{1}({\mathcal {L}})+\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})+1-g\geq \operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})-2=4(2^{e-d-1})-2\,$

globale Schnitte. Der ${}h^{1}$-Term ist nur für ${}{\mathcal {L}}$ vom Grad ${}4$ relevant und dort gleich ${}0$ oder ${}1$. Deshalb hat meine Abschätzung der Schnitte nach oben und damit auch für den Kern der relevanten Matrizen.

${}e=3\,.$

Hier ist

${}d=1,2\,$

relevant. Bei ${}d=1$ gibt es zwei Erzeuger, man erwartet jeweils sechs Schnitte, bei ${}d=2$ gibt es vier Erzeuger, man erwartet jeweils zumindest ${}2$ Schnitte. Also insgesamt ${}20$.

${}(B,\pi )$ diskreter Bewertungsring und ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}B$ mit

${}n\geq m\,,$

definiert

$B^{n}\longrightarrow B^{m},$

sei generisch vom maximalen Rang ${}m$. D.h. über ${}Q(B)$ besitzt

${}Mx=y\,$

für jedes ${}y$ eine Lösung. Das Minorenideal zum Rang ${}m$, also zu den ${}m\times m$-Untermatrizen, sei ${}(\pi )^{\ell }$. Dann ist ${}\pi ^{\ell }y$ im Bild. Wir können eine quadratische Untermatrix ${}U$ betrachten, deren Determinante ${}\pi ^{\ell }u$ mit einer Einheit ${}u$ ist. Dann ist

${}UU^{adj}=u\pi ^{\ell }E_{m}\,.$

Dann ist direkt

${}\pi ^{\ell }{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=\pi ^{\ell }E_{m}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=U{\left(u^{-1}U^{adj}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}\right)}\,.$