Lucy und Veronika Sonnenschein/Sprünge in zwei Richtungen/Abstand/Aufgabe/Lösung

1. Damit Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet, muss sie viermal nach rechts und einmal nach links gesprungen sein. Dafür gibt es ${}5$ Möglichkeiten, je nachdem, wann sie den Sprung nach links gemacht hat. Da es insgesamt ${}2^{5}=32$ Sprungkombinationen für Lucy gibt, befindet sie sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {5}{32}}$ zum Schluss in der Position ${}6$.
2. Veronika besitzt zum Schluss vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ genau dann, wenn sie sich in der Position ${}5$ oder der Position ${}-5$ befindet. Dazu muss sie entweder jeden Sprung nach rechts oder jeden Sprung nach links machen. Dies ergibt ${}2$ Möglichkeiten, daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich ${}{\frac {2}{32}}={\frac {1}{16}}$.
3. Da Lucy stets Sprünge der Länge ${}2$ ausführt, befindet sie sich stets und insbesondere zum Schluss in einer geraden Position. Die Position von Veronika hat die Form ${}i-j$ mit

   ${}i+j=5\,,$

   wobei ${}i$ die Anzahl ihrer Sprünge nach rechts und ${}j$ die Anzahl ihrer Sprünge nach links bezeichnet. Es ist dann

   ${}i-j=5-j-j=5-2j\,$

   und dies ist stets ungerade. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Lucy und Veronika nach fünf Sprüngen in der gleichen Position befinden, ist also gleich ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe