Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Mäuse und $L$ die Menge der Löcher auf einem Feld. Es wird beobachtet, dass jede Maus gewisse Löcher benutzt, andere dagegen vermeidet. Zu einer Teilmenge an Löchern  $S\subseteq L$  definieren wir

$S^{\perp }=\{m\in M\mid m\text{ benutzt alle Löcher aus }S\},$

und zu einer Teilmenge an Mäusen  $T\subseteq M$  definieren wir

$T^{\perp }=\{\ell \in L\mid \ell \text{ wird von jeder Maus aus }T\text{ benutzt}\}.$

1. Beschreibe zu einem Loch  $\ell \in L$  die Menge $\{\ell {\}}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe die Menge $L^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Beschreibe die Menge $M^{\perp }$ mit einem Satz.
4. Zeige: Zu Teilmengen  $S_1\subseteq S_2$  (in $L$) ist

   ${\left(S_1\right)}^{\perp }\supseteq {\left(S_2\right)}^{\perp }.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge  $S\subseteq L$  ist

   $S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   $S=S_1\cup S_2\subseteq L$

   ist

   ${(S_1\cup S_2)}^{\perp }={\left(S_1\right)}^{\perp }\cap {\left(S_2\right)}^{\perp }.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   $S=S_1\cap S_2\subseteq L.$

   die Beziehung

   ${(S_1\cap S_2)}^{\perp }={\left(S_1\right)}^{\perp }\cup {\left(S_2\right)}^{\perp }?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge  $S\subseteq L$  die Beziehung

   $S^{\perp }={\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }?$

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