Münzwurf/Seitenwechsel/Vollständige Unabhängigkeit/Beispiel

Es werde eine Münze ${}n$-mal hintereinander geworfen. Wir interessieren uns für die Ereignisse ${}E_{i}$, dass sich das Ergebnis vom ${}i-1$-ten zum ${}i$-ten Wurf ändert ($i=2,\ldots ,n$). Sind diese Ereignisse vollständig unabhängig? Das ist nicht so unmittelbar klar, da ja ${}E_{i}$ und ${}E_{i+1}$ beide auf den ${}i$-ten Wurf Bezug nehmen. Trotzdem sind diese Ereignisse vollständig unabhängig. Es sei dazu ${}2\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{r}\leq n$ fixiert. Ein Wechsel an der ${}i$-ten Stelle (verglichen zum Vorgängerwurf) hat die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$. Wenn ${}E_{i}$ gelten soll, so ist der ${}i$-te Würfelwurf durch das Ergebnis des ${}(i-1)$-ten Würfelwurfs festgelegt. Wenn das Ereignis ${}E_{i_{1}}\cap E_{i_{2}}\cap \ldots \cap E_{i_{r}}$ gelten soll, so gibt es keinerlei Bedingung an den Stellen ${}i$ mit ${}i\neq i_{j}$ für alle ${}j$, während dadurch an den Stellen ${}i_{j}$ alles fixiert ist. Somit gibt es ${}2^{n-r}$ günstige Kombinationen für dieses Durchschnittsereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist somit

${}{\frac {2^{n-r}}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{r}}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{r}\,,$

was mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten übereinstimmt.