Münzwurf/Seitenwechsel/Vollständige Unabhängigkeit/Beispiel

Es werde eine Münze $n$-mal hintereinander geworfen. Wir interessieren uns für die Ereignisse $E_i$, dass sich das Ergebnis vom $i-1$-ten zum $i$-ten Wurf ändert ($i=2,\dots ,n$). Sind diese Ereignisse vollständig unabhängig? Das ist nicht so unmittelbar klar, da ja $E_i$ und $E_{i+1}$ beide auf den $i$-ten Wurf Bezug nehmen. Trotzdem sind diese Ereignisse vollständig unabhängig. Es sei dazu  $2\le i_1<i_2<\dots <i_r\le n$  fixiert. Ein Wechsel an der $i$-ten Stelle (verglichen zum Vorgängerwurf) hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Wenn $E_i$ gelten soll, so ist der $i$-te Würfelwurf durch das Ergebnis des $(i-1)$-ten Würfelwurfs festgelegt. Wenn das Ereignis $E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \dots \cap E_{i_r}$ gelten soll, so gibt es keinerlei Bedingung an den Stellen $i$ mit  $i\ne i_j$  für alle $j$, während dadurch an den Stellen $i_j$ alles fixiert ist. Somit gibt es $2^{n-r}$ günstige Kombinationen für dieses Durchschnittsereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist somit

$\frac{2^{n-r}}{2^n}=\frac{1}{2^r}={\left(\frac{1}{2}\right)}^r,$

was mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten übereinstimmt.