Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung

Eine Teilmenge  $Z\subseteq M$  eines Maßraumes $M$ heißt Nullmenge, wenn  $\mu (Z)=0$  ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in ${ℝ}^n$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen $Z$, für die es eine messbare Menge  $Z\subseteq Z^{\prime }$  gibt mit  $\mu (Z^{\prime })=0$.  Für eine Eigenschaft $E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft fast überall gilt, wenn die Ausnahmemenge

$\{x\in M\mid E(x)\text{ gilt nicht}\}$

eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von fast überall definierten Funktionen. Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche „kleinen“ Undefiniertheitsstellen ignorieren.