Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung

Eine Teilmenge  ${}Z\subseteq M$  eines Maßraumes ${}M$ heißt Nullmenge, wenn  ${}\mu (Z)=0$  ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen ${}Z$, für die es eine messbare Menge  ${}Z\subseteq Z'$  gibt mit  ${}\mu (Z')=0$.  Für eine Eigenschaft ${}E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft fast überall gilt, wenn die Ausnahmemenge

${\left\{x\in M\mid E(x){\text{ gilt nicht}}\right\}}$

eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von fast überall definierten Funktionen. Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche „kleinen“ Undefiniertheitsstellen ignorieren.