Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist  ${}f=0$  fast überall.
2. Es gibt ein  ${}p\geq 1$  mit

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

3. Für alle  ${}p\geq 1$  ist

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

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