Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${}f=0$ fast überall.
2. Es gibt ein ${}p\geq 1$ mit

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

3. Für alle ${}p\geq 1$ ist

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

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