Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt

Produktsatz für Maße

Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_1,{𝒜}_1,{\mu }_1),\dots ,(M_n,{𝒜}_n,{\mu }_n)$ gegeben.

Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${𝒜}_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{𝒜}_n$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

$\mu (T_1\times \cdots \times T_n)={\mu }_1(T_1)\cdots {\mu }_n(T_n)$

besitzt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen