Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Abbildung

   $\pi _{\text{vert}}\colon TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow p^{*}E=X\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w)$

   ist bei fixiertem ${}(P,u)$ linear in ${}v$ und ${}w$, es liegt also ein Homomorphismus von Vektorbündeln vor. Die Abhängigkeit von der Basis ${}E$ ist stetig differenzierbar, da ${}\omega$ stetig differenzierbar ist. Es liegt eine Spaltung zur natürlichen Inklusion ${}p^{*}E\rightarrow TE$ vor, da ${}(P,u,w)$ auf ${}(P,u,0,w)$ und dieses auf ${}(P,u,\omega (P,0)+w)=(P,u,w)$ abgebildet wird.

2. Zu ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ müssen wir die Hintereinanderschaltung

   $TX{\stackrel {T(f)}{\longrightarrow }}TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}X\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   betrachten, und diese ergibt

   $(P,v)\longmapsto (P,f(P),v,(df)_{P}(v))\longmapsto (P,f(P),\omega (P,v)+(df)_{P}(v))\longmapsto \omega (P,v)+(df)_{P}(v).$

3. Ein horizontaler Schnitt liegt genau dann vor, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, und dies bedeutet hier

   ${}\omega (P,v)+(df)_{P}(v)=0\,$

   für alle ${}(P,v)\in TX$.

4. Dies beruht darauf, dass eine Form genau dann exakt ist, wenn sie lokal eine Stammform besitzt.
5. Dies folgt aus dem bisher Bewiesenen.

Zur bewiesenen Aussage