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Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten Funktionen der Bauart

mit

mit einem Parameter . Dabei ist stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch stetig differenzierbar. Für hinreichend klein ist streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.

Mit definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch

Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf und auf die Identität vorliegt.

Wenn nun eine Mannigfaltigkeit der Dimension ist, so wählen wir eine Karte

mit , wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf liefern Diffeomorphismen auf . Da diese für den äußeren Ball (ab Radius )

die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf durch die Identität auf diffeomorph ausdehnen.