Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten Funktionen der Bauart

$\psi _{c}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x+\varphi _{c}(x),$

mit

${}\varphi _{c}(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq {\frac {1}{3}}\,,\\c{\left(x-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {2}{3}}\right)}^{2}{\text{ für }}{\frac {1}{3}}<x<{\frac {2}{3}}\,,\\0{\text{ für }}x\geq {\frac {2}{3}}\,.\end{cases}}\,$

mit einem Parameter ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Dabei ist ${}\varphi _{c}$ stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch ${}\psi _{c}$ stetig differenzierbar. Für ${}c$ hinreichend klein ist ${}\psi _{c}$ streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.

Mit ${}\psi _{c}$ definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch

$U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \psi _{c}{\left({\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\right)}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf ${}U{\left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$ und auf ${}U{\left(0,1\right)}\setminus U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}$ die Identität vorliegt.

Wenn nun ${}M$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension ${}\geq 1$ ist, so wählen wir eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass ${}V$ (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf ${}V$ liefern Diffeomorphismen auf ${}U$. Da diese für den äußeren Ball (ab Radius ${}{\frac {2}{3}}$)

die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf ${}M$ durch die Identität auf ${}M\setminus \alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}\right)}$ diffeomorph ausdehnen.

Zur gelösten Aufgabe