Mathematik/Übergeordnete Prinzipien/Funktionsdefinition mit Fallunterscheidung/Bemerkung

Eine Funktion ${}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ wird manchmal nicht durch einen einzigen „geschlossenen Ausdruck“ definiert, sondern durch mehrere verschiedene Ausdrücke, die abhängig vom Argument zum Zuge kommen. Typischerweise wird dabei der Definitionsmenge ${}\mathbb {R}$ (oder eine Teilmenge davon) in paarweise disjunkte Teilmengen ${}M_{i}$, ${}i\in I$, unterteilt, auf denen dann die Funktion ${}f$ jeweils durch einen bestimmten funktionalen Ausdruck ${}\varphi _{i}$ definiert wird. Es ist also

$f(x)=\varphi _{i}(x),{\text{ falls }}x\in M_{i}.$

Da die ${}M_{i}$ eine disjunkte Vereinigung der Definitionsmenge bilden, ist eine solche Funktion wohldefiniert. Zu jedem ${}x$ gibt es genau ein ${}i$ mit ${}x\in M_{i}$, sodass das ${}\varphi _{i}$ und damit auch ${}\varphi _{i}(x)$ eindeutig bestimmt ist. Man spricht von einer Definition durch Fallunterscheidung, wobei die Fälle eben durch die Bedingung ${}x\in M_{i}$ bestimmt sind. ${}I$ ist also die Indexmenge der Fallunterscheidung.

Häufige Spezialfälle davon sind, dass ${}\mathbb {R}$ in verschiedene Intervalle zerlegt ist, auf denen unterschiedliche Funktionsvorschriften gelten sollen. Wenn es eine endliche Folge von aufsteigenden Zahlen ${}a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots <a_{n}$ gibt, sodass auf den dadurch begrenzten Intervallen unterschiedliche Definitionen gelten sollen, so wird das häufig in der Form

$f(x)={\begin{cases}\varphi _{0}(x){\text{ für }}x<a_{1}\\\varphi _{1}(x){\text{ für }}a_{1}\leq x<a_{2}\\\varphi _{2}(x){\text{ für }}a_{2}\leq x<a_{3}\\\ldots \\\varphi _{n-1}(x){\text{ für }}a_{n-1}\leq x<a_{n}\\\varphi _{n}(x){\text{ für }}a_{n}\leq x\end{cases}}$

geschrieben. Dabei können auch andere Abschätzungszeichen vorkommen. Wichtig aber ist, dass die durch die Ungleichungen beschriebene Einteilung eine disjunkte Zerlegung liefert. Manchmal werden unkorrekterweise die Einteilungsbedingungen so gewählt, dass eine Intervallgrenze sowohl zum kleineren als auch zum größeren Intervall dazugenommen wird, was dann akzeptabel ist, wenn die beiden konkurrierenden Funktionswerte übereinstimmen.

Wenn man mit einer durch eine Fallunterscheidung gegebenen Funktion arbeitet, wenn man beispielsweise etwas darüber beweisen möchte, muss man die Fallunterscheidung stets „mitschleppen“, d.h. man muss stets mit der gültigen Funktionsdefinition arbeiten. Wenn nicht klar ist, in welchem Intervall sich ein Argument ${}x$ befindet, über das man eine Aussage machen möchte, so muss man eben die möglichen Fälle getrennt abarbeiten.