Mathematik/Prinzipien/Gleichung/Sachverhalt/Bemerkung

Gleichungen treten in der Mathematik mit recht verschiedenen Funktionen auf. Eine wichtige Funktion ist, dass man mit Gleichungen bzw. der Lösbarkeit von Gleichungen Sachverhalte kompakt ausdrücken kann. So kann man ${}x>y$ dadurch ausdrücken, dass es eine positive Zahl ${}z$ derart gibt, dass ${}x=y+z$ gilt, oder die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ${}b$ durch eine natürliche Zahl ${}a$ bedeutet die Existenz einer weiteren Zahl ${}c$ mit ${}b=ac$, eine Zahl ${}m$ ist gerade, wenn sie die Form ${}m=2k$ besitzt, und ungerade, wenn sie die Form ${}m=2k+1$ besitzt, die Division mit Rest bedeutet, dass man ${}n=qd+r$ schreiben kann (statt etwas zu sagen wie ${}n:d$ ist ${}q$ Rest ${}r$).

Die drei wesentlichen Vorteile dieser Vorgehensweise sind:

1. Man kann die Eigenschaften im gleichen Zahlenbereich formulieren (statt beispielsweise zu sagen, dass bei der in ${}\mathbb {Q}$ durchgeführten Division ${}n/2$ eine ganze Zahl rauskommt oder nicht).
2. Man kann Gleichungen gut weiterverarbeiten, in andere Zusammenhänge einsetzen.
3. Mit Gleichungen kann man Gesetzmäßigkeiten beweisen.