Mathematik/Prinzipien/Vokabeln/Bemerkung
Ein wichtiges Prinzip der Mathematik wie einer jeden Wissenschaft ist, dass in ihr Fachbegriffe eine große Rolle spielen. Diese haben eine spezifische Bedeutung, die man im Allgemeinen nicht aus der zugrunde liegenden Wortbedeutung erschließen kann. Diese spezifische Bedeutung, der richtige Kontext u.s.w. muss man lernen. Ohne die Kenntnis dieser Vokabeln ist eine wissenschaftliche Kommunikation nicht möglich. Deshalb gehört das Vokabellernen mit zum Studieren. Dies ist insbesondere in der Mathematik von der Schule her etwas ungewohnt, wo Mathematik eher nicht als „Lernfach“ gilt.
Die mathematischen Fachbegriffe werden in der Regel in expliziten Definition präzise fixiert, seltener auch „en passant“. Der Anspruch an eine mathematische Definition ist, dass man in allen Situationen, wo sie grundsätzlich anwendbar ist, prinzipiell entscheiden kann, ob sie zutrifft oder nicht zutrifft. Die Begriffe sind daher logisch aufgebaut und können dabei Bezug auf zuvor definierte Begriffe nehmen. Sie haben eine völlig andere Struktur wie normalsprachliche Begriffe wie beispielsweise „Strauch“ oder „Bach“, die durch typische Beispiele vermittelt werden (so „lernt“ auch die KI), die für einen Großteil der Objekte die richtige Vorstellung vermitteln, in Grenzfällen aber zu Unklarheiten führen.
Definitionen gehen einher mit typischen Sprechweisen.
Häufig werden mathematische Begriffe von einer spezielleren Situation auf eine allgemeinere Situation ausgeweitet. So hat man die Addition von natürlichen Zahlen, von ganzen Zahlen, von reellen Zahlen, die Addition in Vektorräumen, etc. Die bezeichnet eine Zahl, dann aber auch das neutrale Element in einer Gruppe, die konstante Funktion mit dem Wert .
Ein mathematischer Begriff kann unterschiedlich aber mit gleichem Inhalt definiert werden. So gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine gerade Zahl zu definieren, oder eine rationale Zahl, oder die Determinante einer quadratischen Matrix. Wenn man sich für eine Definition entschieden hat (sagen wir in einem Kurs, in einem Buch), so ist es ein wichtiges Anliegen zu zeigen, dass die gewählte Definition inhaltsgleich zu anderen möglichen Definitionen ist.
Das mathematische Vokabular ist historisch gewachsen, es ist wenig ergiebig, sich Gedanken über die Ursprünge zu machen. Viele Begriffe wie etwa „irreduzibel“ kommen in verschiedenen mathematischen Gebieten vor und haben dort ihre jeweilige Bedeutung. Gelegentlich besteht Uneinigkeit, wie ein Begriff zu fassen, ob beispielsweise die zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Im Großen und Ganzen ist aber die Mathematik begrifflich einheitlich aufgebaut.