Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

   $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

   das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

2. Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ und einer Nachfolgerabbildung

   $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n'$

   und lauten folgendermaßen.

   1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger.
   2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
   3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
      • ${}0\in T$,
      • mit jedem Element ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

   gelten, so ist ${}T=N$.

Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

Unter dem Rang einer linearen Abbildung ${}\varphi$ versteht man

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

$\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

Zur gelösten Aufgabe