Mathematik Anwender II/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung

   ${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

   für alle ${}v,w\in V$.
2. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum. Dann ist ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ in Linearfaktoren zerfällt.
3. Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt

   ${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

4. Das Volumen des durch ${}f$ bestimmten Rotationskörpers ${}K$ ist

   ${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

Zur gelösten Aufgabe