Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

1. Ein Element  $a\in K$  ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
2. Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ reelle Folgen. Es gelte

   $x_n\le y_n\le z_n\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$

   und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

   konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen diesen Grenzwert $a$.
3. Für $f:D\to ℝ$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. $f$ ist stetig im Punkt $x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $D$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$ ist auch die Bildfolge ${(f(x_n))}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.

Zur gelösten Aufgabe