Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen

   $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

   $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

   $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

   stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R}$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

   $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

   stetig.
2. Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit

   $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W$

   mit

   $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Zur gelösten Aufgabe