Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

1. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

   $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q$

   für alle ${}k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
2. Seien

   ${}D,E\subseteq \mathbb {R} \,$

   Teilmengen und seien

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   und

   $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

   Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in ${}b:=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

   ${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
   2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
   3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

      $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

   4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Zur gelösten Aufgabe