Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe/Lösung

1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.
2. Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen

   $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

   $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

   $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

   stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R}$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

   $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

   stetig.
3. Es seien ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei

   $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$

   eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion.

   $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$

   Es sei ${}f$ in ${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

   Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b:=f(a)$ differenzierbar mit

   ${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe